Ofrezco la traducción de este bello documento, un resumen de la historia y del estado actual de este matrimonio entre la Geometría y la Física. Ps. Sí les gusta, ¡no duden en compartirlo!
Geometría y Física
París, 29 de Octubre de 2010
La relación entre la matemática y la física es una relación con una larga tradición. Según Galileo, el libro de la naturaleza está escrito en el lenguaje de la matemática, y sus caracteres son triángulos, círculos, y otras figuras geométricas.
Un gran paso hacía la utilización del lenguaje de la naturaleza para describir fenómenos físicos lo dio Newton, quien desarrolló y aplicó el cálculo al estudio de la dinámica y cuya ley de la gravitación universal explicó todo lo que va desde la caída de una manzana hasta las órbitas de los planetas.
El siglo XIX atestiguó la mayor sofisticación de las ecuaciones de Maxwell al incluir el comportamiento del electromagnetismo, y el siglo XX vio avanzar grandemente este proceso con las teorías de la relatividad de Einstein, primero la especial y luego la general.
En este punto, tanto la teoría de la gravitación como la del electromagnetismo estaban formuladas como teorías de campo en el espacio-tiempo tetradimensional, y esta fusión de la geometría y la física clásica imprimió un gran estímulo a los matemáticos en el campo de la geometría diferencial.
Sin embargo, para estas fechas ya se sabía que la física atómica requería de un marco de trabajo completamente nuevo en forma de mecánica cuántica, la cual utilizaba conceptos radicalmente nuevos tales como la superposición lineal de estados y el principio de incertidumbre, el cual ya no permitía la determinación de tanto la posición como del momento de una partícula.
En este caso los vínculos matemáticos no eran con la geometría, sino con el análisis de operadores lineales y la teoría espectral. Tan pronto la física experimental sondeó en las profundidades de la región subatómica, las teorías cuánticas incrementaron su complejidad y parecía que la física divergía de la matemática clásica.
El panorama comenzó a cambiar alrededor de 1955, con el arribo de las ecuaciones de Yang-Mills, las cuales mostraron que la física de partículas podría ser tratada con el mismo tipo de geometría usada en la teoría de Maxwell, pero con la mecánica cuántica jugando un papel dominante.
Sin embargo, no fue sino hasta inicios de la década de 1970 que se vio claramente que estas teorías de norma(1) no-abelianas están de hecho en el corazón del modelo estándar de la física de partículas, el cual describe las partículas conocidas junto con sus interacciones dentro del contexto de la teoría cuántica de campo.
Es un logro notable el que todos los componentes básicos de esta teoría puedan ser formulados en términos de conceptos geométricos tales como haces vectoriales, conexiones, curvaturas, derivadas covariantes y espinores(2).
Esta combinación de teoría geométrica de campo con mecánica cuántica funcionó bien para la estructura de la materia, pero pareció toparse con pared cuando se enfrentó a la teoría de la relatividad general y a la gravitación. Pero en los últimos 30 años un nuevo tipo de interacción, probablemente única, ha tenido lugar, en la cual los físicos, al explorar sus nuevas y aún especulativas teorías, se han topado con todo un conjunto de 'descubrimientos' matemáticos. Estos son obtenidos de la intuición física y de argumentos heurísticos, los cuales están más allá del alcance del rigor matemático tal como lo concebimos hoy, pero que han soportado las pruebas del tiempo y de los métodos alternativos. Hay una gran emoción intelectual en estos mutuos intercambios.
El impacto de estos descubrimientos en matemática ha sido profundo y de gran difusión. Áreas de la matemática como la topología y la geometría algebraica -que yacen en el corazón de la matemática pura y parecen muy lejanas de la frontera de la física- han sido profundamente afectadas. Este desarrollo ha llevado a muchas disciplinas híbridas, tales como la teórica topológica cuántica de campo, la cohomología cuántica, la gravedad cuántica de bucle o los grupos cuánticos, las cuales son hoy áreas activas de investigación tanto en matemáticas como en física. El significado de todo esto aún no es claro.
Finalmente, las interacciones entre la matemática y la física cuántica jugó un importante papel en desarrollos recientes en la matemática. Algunas áreas de la matemática que han recibido mucha inspiración por parte de la física son la teoría conforme de campo, la simetría especular y la geometría no conmutativa.
(1) Gauge theory (N. del T.)
(2) Spinor (N. del T.)
Lo siguiente es la traducción de un texto que encontré pegado a un recolector de desechos en la ciudad de Estrasburgo. Espero que les plazca la traducción que he hecho de él.
Versión original en francés disponible aquí.
Clarens, Vaud, 26 septiembre 1885.
Compañeros,
Ustedes le piden a un hombre de buena voluntad, que no es votante ni candidato, de exponerles cuales son sus ideas sobre el ejercicio del derecho al sufragio.
El periodo de tiempo que me otorgan es muy corto, pero teniendo, sobre el tema del voto electoral, las convicciones muy claras, lo que tengo para decirles se puede formular en unas cuantas palabras.
Votar, es abdicar; nombrar uno o varios amos por un periodo corto o largo, es renunciar a su propia soberanía. Que se vuelva monarca absoluto, príncipe constitucional o simplemente mandatario dotado de una pequeña parte de realeza, el candidato que ustedes llevan al trono o a la silla será su superior. Ustedes nombran a hombres que están más allá de las leyes, puesto que ellos se encargan de redactarlas y que su misión es de hacerles obedecer a ustedes.
Votar, es ser engañado; es creer que hombres como ustedes adquirirán súbitamente, al tintineo de una sonata, la virtud de saberlo todo y de comprenderlo todo. Sus mandatarios al tener que legislar sobre todas las cosas, de los cerillos a los barcos de guerra, del podado de los árboles a la exterminación de tribus rojas o negras, a ustedes les parece que su inteligencia crece en razón misma de la inmensidad de la tarea. La historia les enseña a ustedes que ocurre lo contrario. El poder siempre ha desconectado, el parloteo siempre ha estupidizado. En las asambleas soberanas, la mediocridad prevalece fatalmente.
Votar es evocar la traición. Sin duda, los votantes creen en la honestidad de aquellos por los que votan -y puede ser que tengan razón el primer día, cuando los candidatos están aún en el fervor del primer amor. Pero cada día tiene su mañana. A partir de que el medio cambia, el hombre cambia con él. Hoy, el candidato se inclina ante ustedes, y quizás muy abajo; mañana, él se levantará y quizás muy alto. Él mendigaba votos, él les dará órdenes. El obrero, vuelto supervisor, ¿puede quedarse siendo el mismo que era antes de haber obtenido el favor del patrón? ¿No se enseña el fogoso demócrata a encorvar la espina cuando el banquero se digna en invitarlo a su oficina, cuando los criados de los reyes le hacen el honor de atenderlo en las antecámaras? La atmósfera de esos cuerpos legislativos es nociva para respirar, ustedes envían a sus mandatarios a un medio de corrupción; no se sorprendan si ellos salen corrompidos de ahí.
No abdiquen entonces, no vuelvan a poner entonces sus destinos en hombres necesariamente incapaces y en futuros traidores. ¡No voten! En vez de confiar sus intereses a otros, defiéndalos ustedes mismos; en vez de contratar abogados para proponer un modo de acción futuro, ¡actúen! Las ocasiones no les faltan a los hombre de buena voluntad. Lanzar sobre los otros la responsabilidad de su conducta, es ser falto de valentía.
Los saludo con todo el corazón, compañeros.
Élisée Reclus.
Presenciar ya sea el nacimiento, crecimiento o desarrollo de algo, aún a pesar de que éste algo se halle sujeto a condiciones sumamente adversas, me hace querer abrazar y sentir como mí principio director aquél breve aforismo Árabe de "estaba escrito". Yo veo en estas dos palabras la irrompible voluntad natural de lo que es necesario que sea.
Un 6 de enero -contando yo con 6 años de edad- cogí mi primera burra; aún recuerdo ese doloroso proceso para aprender a mantener el equilibrio sin la ayuda de las patas laterales traseras. 6 años más tarde mis padres me obsequiaron una nueva bicla, la cuál me robaron cruelmente en una papelería por estar yo distraido jugando Mortal Kombat. Antes de este triste suceso solíamos salir toda mi familia a bicicletear a La Barranca, mucho antes de que este lugar se volviese el infame fraccionamiento de Cofradia con todo y su río seco y sus campos que ya no producen más alfalfa.
