Ofrezco la traducción de este bello documento, un resumen de la historia y del estado actual de este matrimonio entre la Geometría y la Física. Ps. Sí les gusta, ¡no duden en compartirlo!
Geometría y Física
París, 29 de Octubre de 2010
La relación entre la matemática y la física es una relación con una larga tradición. Según Galileo, el libro de la naturaleza está escrito en el lenguaje de la matemática, y sus caracteres son triángulos, círculos, y otras figuras geométricas.
Un gran paso hacía la utilización del lenguaje de la naturaleza para describir fenómenos físicos lo dio Newton, quien desarrolló y aplicó el cálculo al estudio de la dinámica y cuya ley de la gravitación universal explicó todo lo que va desde la caída de una manzana hasta las órbitas de los planetas.
El siglo XIX atestiguó la mayor sofisticación de las ecuaciones de Maxwell al incluir el comportamiento del electromagnetismo, y el siglo XX vio avanzar grandemente este proceso con las teorías de la relatividad de Einstein, primero la especial y luego la general.
En este punto, tanto la teoría de la gravitación como la del electromagnetismo estaban formuladas como teorías de campo en el espacio-tiempo tetradimensional, y esta fusión de la geometría y la física clásica imprimió un gran estímulo a los matemáticos en el campo de la geometría diferencial.
Sin embargo, para estas fechas ya se sabía que la física atómica requería de un marco de trabajo completamente nuevo en forma de mecánica cuántica, la cual utilizaba conceptos radicalmente nuevos tales como la superposición lineal de estados y el principio de incertidumbre, el cual ya no permitía la determinación de tanto la posición como del momento de una partícula.
En este caso los vínculos matemáticos no eran con la geometría, sino con el análisis de operadores lineales y la teoría espectral. Tan pronto la física experimental sondeó en las profundidades de la región subatómica, las teorías cuánticas incrementaron su complejidad y parecía que la física divergía de la matemática clásica.
El panorama comenzó a cambiar alrededor de 1955, con el arribo de las ecuaciones de Yang-Mills, las cuales mostraron que la física de partículas podría ser tratada con el mismo tipo de geometría usada en la teoría de Maxwell, pero con la mecánica cuántica jugando un papel dominante.
Sin embargo, no fue sino hasta inicios de la década de 1970 que se vio claramente que estas teorías de norma(1) no-abelianas están de hecho en el corazón del modelo estándar de la física de partículas, el cual describe las partículas conocidas junto con sus interacciones dentro del contexto de la teoría cuántica de campo.
Es un logro notable el que todos los componentes básicos de esta teoría puedan ser formulados en términos de conceptos geométricos tales como haces vectoriales, conexiones, curvaturas, derivadas covariantes y espinores(2).
Esta combinación de teoría geométrica de campo con mecánica cuántica funcionó bien para la estructura de la materia, pero pareció toparse con pared cuando se enfrentó a la teoría de la relatividad general y a la gravitación. Pero en los últimos 30 años un nuevo tipo de interacción, probablemente única, ha tenido lugar, en la cual los físicos, al explorar sus nuevas y aún especulativas teorías, se han topado con todo un conjunto de 'descubrimientos' matemáticos. Estos son obtenidos de la intuición física y de argumentos heurísticos, los cuales están más allá del alcance del rigor matemático tal como lo concebimos hoy, pero que han soportado las pruebas del tiempo y de los métodos alternativos. Hay una gran emoción intelectual en estos mutuos intercambios.
El impacto de estos descubrimientos en matemática ha sido profundo y de gran difusión. Áreas de la matemática como la topología y la geometría algebraica -que yacen en el corazón de la matemática pura y parecen muy lejanas de la frontera de la física- han sido profundamente afectadas. Este desarrollo ha llevado a muchas disciplinas híbridas, tales como la teórica topológica cuántica de campo, la cohomología cuántica, la gravedad cuántica de bucle o los grupos cuánticos, las cuales son hoy áreas activas de investigación tanto en matemáticas como en física. El significado de todo esto aún no es claro.
Finalmente, las interacciones entre la matemática y la física cuántica jugó un importante papel en desarrollos recientes en la matemática. Algunas áreas de la matemática que han recibido mucha inspiración por parte de la física son la teoría conforme de campo, la simetría especular y la geometría no conmutativa.
(1) Gauge theory (N. del T.)
(2) Spinor (N. del T.)
